수학과 다운로드 불대수 Booleanalgebra
[수학과] 불대수 Booleanalgebra
『불대수 (Boolean algebra)』
현대 수학에 속하는 대수학의 한 분과로서, G.불이 논리계산을 형식화하여 도입한 대수계.
두 가지의 2항연산 ∩(논리곱)과 ∪(논리합)에 관하여 다음과 같이 ① 교환법칙 ② 결합법칙 ③ 흡수법칙을 만족하는 것을 속(束)이라 하고, ①～③의 등식은 속항등식이라 한다. ① x∩y=y∩x, x∪y=y∪x ② x∩(y∩z)=(x∩y)∩z x∪(y∪z)=(x∪y)∪z ③ x∩(x∪y)=x, x∪(x∩y)=x 멱등법칙 x∩x=x, x∪x=x는 흡수법칙으로부터 유도된다. 속의 원소로서 0(최소단위 또는 零元) 및 1(최대단위 또는 單位元)이 존재할 때 x∩y=0이고 x∪y=1을 만족하는 원소 x,y를 서로 상보적이라 하며, 한쪽을 다른쪽의 보원(또는 否定)이라 한다. x의 보원을 x`로 나타내는 경우가 많다. 속의 임의의 원소에 대하여 그 보원이 속 안에 적어도 하나 있을 때 가보적(可補的)이라 하며, 그 속을 가보속(可補束)이라 .. 『불대수 (Boolean algebra)』
현대 수학에 속하는 대수학의 한 분과로서, G.불이 논리계산을 형식화하여 도입한 대수계.
두 가지의 2항연산 ∩(논리곱)과 ∪(논리합)에 관하여 다음과 같이 ① 교환법칙 ② 결합법칙 ③ 흡수법칙을 만족하는 것을 속(束)이라 하고, ①～③의 등식은 속항등식이라 한다. ① x∩y=y∩x, x∪y=y∪x ② x∩(y∩z)=(x∩y)∩z x∪(y∪z)=(x∪y)∪z ③ x∩(x∪y)=x, x∪(x∩y)=x 멱등법칙 x∩x=x, x∪x=x는 흡수법칙으로부터 유도된다. 속의 원소로서 0(최소단위 또는 零元) 및 1(최대단위 또는 單位元)이 존재할 때 x∩y=0이고 x∪y=1을 만족하는 원소 x,y를 서로 상보적이라 하며, 한쪽을 다른쪽의 보원(또는 否定)이라 한다. x의 보원을 x`로 나타내는 경우가 많다. 속의 임의의 원소에 대하여 그 보원이 속 안에 적어도 하나 있을 때 가보적(可補的)이라 하며, 그 속을 가보속(可補束)이라 한다. y
또, 분배법칙 x∩(y∪z)=(x∩y)∪(x∩z) x∪(y∩z)=(x∪y)∩(x∪z) 를 만족할 때 분배적이라 하고, 그 속을 분배속이라 한다. 이들 ①～③의 속항등식 및 가보속 ?분배속의 모든 것을 만족시키는 것이 가보분배속(可補分配束, 불束) 또는 불대수이며, 또 그 연구영역도 같이 불대수라고 한다. 쌍대성이 성립하므로 한쪽의 성질을 증명하면, 이것과 쌍대인 다른쪽의 성질도 동시에 증명한 셈이 된다. 또 0, 1인 2수의 대수이므로 2진법에 적용시킬 수 있다. 더욱 집합론의 논리곱 ?논리합 ?부정에 각각 and, or, not를 대응시키면 불대수의 또 하나의 모델로서 논리연산의 체계가 성립한다. y
① 불 대수 공리
공리1
공리2
공리3
공리4
공리5
①
A ≠ 0 이면 A = 1
0?0 = 0
1?1 = 1
0?1 = 0
1` = 0
②
A ≠ 0 이면 A = 1
0 + 0 = 0
1 + 1 = 1
0 + 1 = 1
0` = 1
③
A ≠ 1 이면 A = 0
④
A = 0 이면 A`= 1
②불 대수 기본정리
정리 1 : A + 0 = A, A?0 = 0
정리 2 : A + A` = 1, A?A` = 0
정리 3 : A + A = A, A?A =A
정리 4 : A + 1 = 1, A?1 = A
③교환 정리
불 대수식에서 연산순서를 바꾸어도 결과가 동일하게 되는 것
예> A + B = B + A, A?B = B?A
④결합 정리
괄호 내에서 먼저 결합된 것을 순서를 바꾸어 괄호 바깥의 것과 먼저 결합하여도 결과가 같게 되는 것
예> A+(B+C) = (A+B)+C, A?(B?C) = (A?B)?C
⑤분배 정리
괄호로 동일한 연산을 묶은 것은 괄호 바깥의 요소가 내부의 요소에 공통적으로 할당됨으로 개별적으로 할당한 것을 괄호 내부의 연산으로 수행하여도 결과가 같게 되는 정리
예> A?(B+C) = A?B + A?C, A+(B?C) = (A+B)?(A+C)
⑥부정 정리
현재의 명제를 부정하는 것
예> (A`)` = A, A+A` = 1, A?A`=0
⑦드모르간(De Morgan) 정리
드모르간의 제 1법칙 : (A+B)` = A`?B`
드모르간의 제 2법칙 : (A?B)` = A` + B`
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